POVESTEA ZILEI – Şirul lui Fibonacci

0
11

Fragment din „Împotriva zeilor. Remarcabila poveste a riscului” de Peter L. Bernstein, volum apărut recent la editura Humanitas.

 

Povestea numerelor în Occident începe în anul 1202, atunci când construcţia catedralei din Chartres se apropia de final şi regele Ioan Plantagenetul îşi încheia cel de-al treilea an de domnie în Anglia. În acel an apărea în Italia o carte intitulată Liber Abaci, Cartea de calcul. Cele cincisprezece capitole ale cărţii erau în întregime scrise de mână; abia după aproape trei sute de ani avea să fie inventat tiparul. Leonardo Pisano, autorul cărţii, avea doar 27 de ani, dar fusese născut sub o stea norocoasă: cartea sa avea să fie sprijinită de Frederic al II-lea, împăratul Sfântului Imperiu Roman. Nici un autor nu putea să aibă parte de o mai mare onoare.

 

În cea mai mare parte a vieţii, Leonardo Pisano a fost cunoscut drept Fibonacci, numele după care este recunoscut astăzi. Numele de familie al tatălui său fusese Bonacio, iar Fibonacci este o prescurtare a „fiului lui Bonacio“. Bonacio înseamnă „prostănac“, iar Fibonacci înseamnă „cap sec“. Totuşi, Bonacio nu fusese chiar un prostănac, de vreme ce deţinuse funcţia de consul al Pisei în mai multe oraşe, iar fiul său, Leonardo, nu avea, cu siguranţă, capul sec.

 

Fibonacci fusese inspirat să scrie Liber Abaci după o vizită în Bugia, un oraş algerian înfloritor, unde tatăl său era consul de Pisa. În timpul şederii sale acolo, un matematician arab îi dezvăluise minunăţiile sistemului numeric indo-arab pe care matematicienii arabi îl introduseseră în Occident în timpul Cruciadelor. Când a văzut calculele pe care sistemul arab le permitea – şi care ar fi fost imposibile prin folosirea sistemului cu litere romane –, Fibonacci şi-a propus să afle cât mai mult despre acesta. Dorind să înveţe de la cei mai buni matematicieni care locuiau în jurul Mării Mediterane, Fibonacci a pornit într-o călătorie care l-a purtat până în Egipt, Siria, Grecia, Sicilia şi Provenţa.

 

Rezultatul a fost o carte care poate fi considerată extraordinară din orice punct de vedere. Liber Abaci le-a înfăţişat oamenilor o lume complet nouă, unde numerele puteau înlocui sistemele ebraice, greceşti şi romane în care calculele şi numărătoarea se făceau cu ajutorul literelor. Cartea s-a bucurat repede de interesul matematicienilor din Italia, ca şi din întreaga Europă.

 

Liber Abaci reprezintă mult mai mult decât o introducere în citirea şi scrierea cu noile numere. Fibonacci începe cu regulile după care într-o serie de cifre pot fi identificate unităţile, multiplii de zece sau multiplii de 100, şi aşa mai departe. Capitolele următoare devin şi mai complicate. Aici găsim calcule în care se folosesc numere întregi şi fracţii, regula de trei simplă, extragerea rădăcinii pătrate şi polinoame, chiar şi soluţii pentru ecuaţii de gradul I şi II.

 

Oricât de ingenioase şi de originale erau exerciţiile lui Fibonacci, dacă în carte s-ar fi găsit doar noţiuni teoretice, ea nu s-ar fi bucurat decât de atenţia unui cerc restrâns de cunoscători în domeniu. Totuşi, cartea a stârnit entuziasmul multora, pentru că autorul o umpluse cu întrebuinţări practice. De exemplu, autorul descrie şi ilustrează numeroasele inovaţii pe care noile numere le introduceau în contabilitatea comercială, precum calcularea marjei profitului, schimbul de bani, conversia sistemelor de măsurare, iar – deşi cămătăria era încă interzisă mai peste tot – Fibonacci include şi o modalitate de calculare a plăţii dobânzilor.

 

Liber Abaci a oferit exact genul de provocări care ar fi încântat un spirit atât de creativ şi de inteligent precum împăratul Frederic. Deşi dădea dovadă de cruzime şi era obsedat de putere, împăratul, care a domnit din 1211 până în 1250, era cu adevărat interesat de ştiinţă, de arte şi de filozofia guvernării. În Sicilia, Frederic al II-lea distrusese toate garnizoanele private şi toate castelele feudale, impozitase preoţimea şi le interzisese clericilor să deţină funcţii publice. Tot el a instituit un sistem birocratic bine pus la punct, a abolit impozitele, a eliminat interdicţiile privind importurile şi a închis monopolurile de stat.

 

Frederic nu suporta să aibă rivali. Spre deosebire de bunicul său, Frederic I Barbarossa, care fusese umilit de Papă în bătălia de la Legnano din 1176, acest al doilea Frederic savura nesfârşitele lupte cu papalitatea. Intransigenţa de care dădea dovadă i-a atras excomunicarea nu doar o dată, ci de două ori. La cea de-a doua, Papa Grigore al IX-lea a cerut ca Frederic să fie detronat, calificându-l drept eretic, ticălos şi nesupus lui CChristos. Frederic a ripostat printr-un sălbatic atac asupra teritoriilor papale; între timp, flota sa a capturat o delegaţie numeroasă de prelaţi aflaţi în drum spre Roma ca să se alăture unui sinod convocat pentru a-l îndepărta pe Frederic de la putere.

http://www.revista22.ro/nou/imagini/Humanitas/H46.jpg

Împăratul s-a înconjurat de cei mai mari intelectuali ai vremii sale, invitându-i pe majoritatea să i se alăture la Palermo. A construit unele dintre cele mai frumoase castele din Sicilia şi, în 1224, a fondat o universitate pentru instruirea funcţionarilor publici – prima universitate europeană înfiinţată prin cartă regală.

 

Frederic era fascinat de Liber Abaci. Undeva prin anii 1220, în timpul unei vizite la Pisa, l-a invitat pe Fibonacci la curte. În timpul întrevederii, Fibonacci a rezolvat problemele de algebră şi ecuaţiile de gradul III pe care i le dăduse unul dintre numeroşii oameni de ştiinţă de pe lângă curte. Ulterior, Fibonacci a scris o carte inspirată de vizita sa, Liber Quadratorum sau Cartea Pătratelor, pe care i-a dedicat-o împăratului.

 

Fibonacci este cunoscut de mulţi pentru un scurt pasaj din Liber Abaci care a dus la descoperirea a ceea ce-am putea numi un miracol matematic. Pasajul se referă la următoarea problemă: câţi iepuri se vor naşte într-un an dintr-o primă pereche de iepuri, presupunând că, în fiecare lună, fiecare pereche prăseşte încă o pereche şi că iepurii încep să se reproducă la vârsta de două luni? Fibonacci a descoperit că prima pereche de iepuri ar fi prăsit un total de 233 de perechi de urmaşi în decursul unui an.

 

Matematicianul a mai descoperit ceva cu mult mai interesant. El a presupus că prima pereche nu s-ar fi reprodus decât în a doua lună şi apoi ar fi prăsit câte o pereche pe lună. În a patra lună, primii lor doi urmaşi ar fi început să se înmulţească. După începerea procesului, numărul total de perechi de iepuri la sfârşitul fiecărei luni ar fi fost: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Fiecare număr succesiv este suma celor două precedente. Dacă iepurii ar fi continuat timp de o sută de luni, numărul total de perechi ar fi: 354.224.848.179.261.915.075.

 

Şirul lui Fibonacci reprezintă totuşi mai mult decât o sursă de amuzament. Împărţiţi oricare dintre numerele lui Fibonacci la următorul număr mai mare din serie. După cifra 3, răspunsul este întotdeauna 0,61. După 89, răspunsul este întotdeauna 0,618; după numerele mai mari, se pot completa mai multe zecimale. Împărţiţi oricare număr la numărul care îl precedă. După 2, răspunsul este întotdeauna 1,6. După 144, răspunsul este întotdeauna 1,618.

 

Grecii cunoşteau acest raport şi îl numeau „proporţia divină“ sau „numărul de aur“. Acest număr defineşte proporţiile Parthenonului, forma cărţilor de joc şi a cardurilor bancare, precum şi proporţiile clădirii Adunării Generale a ONU din New York. Linia orizontală a majorităţii crucifixurilor creştine traversează linia verticală după aproximativ aceeaşi regulă a proporţiei divine: lungimea părţii de sus a crucii reprezintă 61,8% din lungimea de dedesubt. Proporţia divină apare şi peste tot în natură – în modelele de pe petalele florilor, în modul în care sunt dispuse frunzele de anghinare şi cotoarele frunzelor de palmier. Acest număr reprezintă, de asemenea, şi raportul dintre lungimea corpului uman măsurat până la buric şi lungimea măsurată de la buric până la tălpi (cel puţin în cazul persoanelor cu proporţii normale). Lungimea fiecărui os succesiv din degetele noastre, de la vârf până la palmă, respectă aceeaşi proporţie. Într-una dintre cele mai romantice manifestări ale sale, raportul lui Fibonacci se regăseşte în proporţiile şi forma unei spirale armonioase.

 

Comentează

Please enter your comment!
Please enter your name here
Please enter your comment!